최병선 금융공학 VII - 수치해석 목차

컴퓨터를 무조건 써야 하기 때문에 과학적컴퓨팅에 대해서도 배워야 한다는 스탠스.
 컴퓨터개론 교수님께서도 IT가 다른 분야의 기초과학처럼 될 거라는 말씀을 했는데, 그 말씀과 비슷한 논지의 얘기인 것 같다.
 개인적으로 나도 동의하는 바이다. IT 쪽 공부하면 공부할 수록 다른 분야의 지식도 깊어지는 경험을 자주 했거든. 어떤 분야든 대부분의 계산을 컴퓨터로 하니 말이다.

 이제 목차 보자.

 1장은 서론이다. 과학적 컴퓨팅에 대한 설명, 함수의 근사, 모델 추정에 있어 컴퓨터가 갖는 근본적인 오류(소수점 등)에 대해 다룬다.

 2장은 직교함수에 대해 다룬다. 근데 직교함수를 내가 공부해본 적이 없어서… 어떤 걸 배우는 건지를 아직은 잘 모르겠다.
직교기저, Legendre/Chebyshev/Laguerre/Hermite 함수 등에 대해 배운 뒤,
이를 근사하는 방법에 대해 배운다.
직교함수에 대한 건 통계수학하면서 벡터 직교로 선형방정식 추정하는 게 전부라… 사실 자신은 없다. 그때도 좀 헤매기도 했고.

 3장은 보간법(interpolation)에 대해 배운다. 얘도 아예 처음 보는 단어다. 힘내자.
보간법은 ‘주어진 유한개 조건들을 만족하는 ‘좋은(nice)’ 함수를 구축하는 것’을 말한다.
Legrange/Hermite/기수함수 보간 등을 배우고, Lagrange보간의 보간오차, Chebyshev회귀식 등에 대해 배운다.
이와 함께 다변수함수의 내삽(=보간)에 대해 간단히 알아본다. 이거부터는 책 범위 밖이라고 하네잉….


 4장은 스플라인(spline, or flexible curve)에 대해 배운다. 스플라인 함수는 ‘각 소수간마다 계수가 다른 멱함수를 이어서 만든 구분적 멱함수’를 일컫는다. 멱함수(power function)은 거듭제곱의 지수를 고정하고 밑을 변수로 하는 함수를 말한다.
 스플라인은 원래 여러 점들을 부드럽게 연결하기 위해 사용한 유연한 판이나 줄을 의미한다.
스플라인도 여기에서 처음 보는 개념이다. 나중에 또 보면서 알아가야겠다.
책에서는 보간에서 스플라인으로 넘어가는 과정을 설명하고, 스플라인에 대해 정의한 뒤, 여러가지 스플라인에 대해 설명한다.
그리고 이를 정규화하는 것을 배운 뒤,(아직 정규화의 뜻은 잘 모르지만.), 변동성곡면(얘도 잘 모른다.)의 추정을 통해 스플라인을 현실 세계에 적용시켜본다.

 5장은 비선형방정식에 대한 파트이다. 선형적이지 않은 방정식의 수치해 (수치해석기법을 이용해 구한 근사적인 해, cf. 해석해- 미분 등의 수학적 기법을 사용해 구한 정확한 해)를 구하는 다양한 방법들에 대해 배워본다.
직관적 방법과 함께, 이분할법, 고정점법, Newton-Raphson법, 시컨트법, Muller법, IQI법, Brent법 등 다양한 수치해석 기법에 대해 소개한다.
여기에 더해 예제도 있긴 한데, 구현까지는 못 해볼 것 같다.

 6장 최적화에서는 여러가지 최적화 기법들에 대해 배운다.
 단변수함수의 최적화에서 시작하여 다변수함수의 최적화, 부등식제약조건하에서의 최적화, Ridge(능형회귀)/LASSO, 로지스틱회귀 등등에 대해 공부한다.
Logistic 회귀, Ridge/LASSO 등등은 XGboost 배울 때 머신러닝 배경지식으로 공부했었는데, 여기서 보니까 반갑다.
생각해보니까 원리도 모르고 썼었다. 원리 몰라도 쓸 수 있는 게 머신러닝의 최고 장/단점인 것 같다.
생각해보니까 이게 머신러닝 아님…?
머신러닝: 경험을 통해 자동으로 개선하는 컴퓨터 알고리즘의 연구
머신러닝이 수치해석의 연장선인 것 같은데… 맞나…?

 7장과 8장은 각각 미분/적분과 미분방정식이다. 데이터의 수치미분/수치적분에 대해서 배우고, 다양한 미분방정식/구적법에 대해서 배운다.
얘는 아예 모르는 분야라 할 말이 없다. 수치해라는 말을 오늘 처음 들어봤다….
근데 5권 9장 확률미적분이랑은 좀 많이 다른 게, 여기서는 수치해석에서의 미적분을 다루는 거잖아. 5권의 확률미분에서는 확률을 왜 미분하는지/적분하는지에 대해서 다루는 거고.
이거 두개를 비슷하다고 오해를 했네. 아예 완전히 다른 분야다.

 이번 권은 전반적으로 컴퓨터를 이용한 비선형방정식의 수치해를 구하는 것에 대해 배우는 것 같다.
 컴퓨터를 이용한 모델링의 특징과 한계를 배우고, 적절한 조건을 만족하는 함수를 근사하는 법을 배운다.
 또한 이를 통해 함수를 최적화하는 방법을 배우고, 비선형방정식의 수치해를 추정하는 방법을 배운다.

 이거 진짜 한 학기 안에 뗄 수 있는 내용 맞냐…?